La riflessione, la rifrazione e il principio di Fermat
Consideriamo una sorgente S di onde e un punto P, posti nello stesso mezzo di propagazione dove la velocità delle onde è v. Consideriamo inoltre una superficie riflettente come in figura. Tra tutti i possibili cammini che un raggio d'onda può fare per andare da S a P passando per la superficie riflettente, il cammino reale, cioè quello effettivamente percorso dal raggio e caratterizzato dal fatto che l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione, è anche caratterizzato dal minor tempo di percorrenza: si tratta del cosiddetto "Principio di Fermat". In questo caso in cui sia il raggio incidente che quello riflesso viaggiano nello stesso mezzo, il cammino di minor tempo (la brachistocrona) è anche il cammino più breve in termini di lunghezza.
Per la dimostrazione si considera la figura seguente:
Con evidente significato dei simboli, il tempo t impiegato dall'onda per andare da S a P è dato da:
.
Per la derivata di questa funzione si ottiene:
.
Uguagliando a zero si trova subito che cosα=cosβ, cioè α=β. Da questo discende che il cammino di minimo tempo è quello per cui gli angoli di incidenza e di riflessione (che sono i complementari di α e β rispettivamente) sono uguali.
Un discorso sostanzialmente identico si può fare per il problema della rifrazione, in cui l'onda passa da un mezzo con velocità di propagazione v1 a uno con velocità di propagazione v2. Con le stesse notazioni di prima avremo ora, come unica differenza, il fatto che l'onda viaggia con velocità diverse nei due mezzi, per cui avrà "convenienza" a percorrere, a parità di altre condizioni, tratti più lunghi nel mezzo dove è più veloce, e più brevi nell'altro.
Nel calcolo del "tempo di volo" tra S e P, l'unica differenza sarà ora che le velocità di propagazione saranno diverse, diciamole v1 e v2.
La nuova formula per il tempo sarà: 
. Per
la derivata si avrà: 
. Uguagliando
a zero si trova 
, o anche 
,
che è la nota legge della rifrazione di Snell. Puoi
vedere un'animazione con Cabri del principio di
Fermat. Naturalmente la rifrazione si può spiegare
anche con il principio di
Huygens.
Al passaggio da un mezzo con una data velocità di propagazione ad un altro sono presenti, di norma, entrambi i fenomeni della riflessione e della rifrazione. In particolari situazioni si può anche avere il fenomeno della cosiddetta riflessione totale. In questo sito abbiamo proposto anche un'animazione relativa al fenomeno della riflessione totale.