E' chiaro che la costruzione di successioni con il metodo iterativo è possibile solo se f(an) sta sempre nel dominio di f, per ogni n, in modo da poter eseguire l'iterazione: la cosa è sicuramente possibile per le funzioni per cui l'immagine del dominio coincide con il dominio.
Come primo esempio di una funzione non lineare consideriamo la funzione radice quadrata, che ha dominio e codominio coincidente con i reali positivi. Dato k>0 poniamo . La figura a lato è costruita a partire da due diversi valori di k, uno maggiore e uno minore di 1: è chiaro che, in entrambi i casi, la successione converge ad 1. Se si fosse preso k=0, la successione sarebbe rimasta stabilmente sullo zero.
Consideriamo ora la funzione e un valore reale k non nullo. La funzione ha dominio e immagine coincidenti con i reali non nulli, quindi non ci sono problemi a costruire una successione per iterazione, secondo il metodo ormai usuale: .
Il grafico qui sopra mostra subito che le orbite costruite a partire da un k>0 convergono allo stesso punto (ottenuto per intersezione tra la curva e la bisettrice), di ascissa (e ordinata!) , tutte quelle costruite a partire da k<0 convergono a .
La tecnica considerata in questo esempio è storicamente molto importante ed era nota, nella sua sostanza, già ai babilonesi. L'idea che porta alla considerazione di questa successione si può schematizzare con il ragionamento seguente. Se a (>0) è un valore approssimato della radice di 2, si ha: , ovvero anche è un valore approssimato della radice di 2. Inoltre , ovvero se una delle due approssimazioni è per difetto, l'altra è per eccesso: prendendo la media delle due posso sperare di avere un'approssimazione migliore. La media delle due è , da cui segue la funzione considerata sopra. Il cosiddetto metodo delle tangenti o di Newton per la risoluzione numerica di un'equazione fornisce una (tra le possibili) giustificazioni teoriche a questo ragionamento. Questa tecnica ricorsiva si presta egregiamente ad essere utilizzata con un foglio elettronico di calcolo. Puoi vederne un'applicazione nella calcolo della radice di due.
Come ulteriore esempio consideriamo la funzione f(x)=cosx. Applicando la tecnica grafica si vede subito che l'orbita di un qualunque punto converge sempre verso l'intersezione tra la funzione coseno e la bisettrice y=x: 0.739085...
Puoi vedere un calcolo numerico, con foglio elettronico.
Un
discorso sostanzialmente identico a quello fatto con la funzione
coseno si può fare con la funzione seno, dove si trova
che tutte le orbite convergono a zero, seppure con estrema
lentezza. La lentezza della convergenza, come mostra il grafico
qui a fianco, è legata al fatto che, per x
prossimi a zero, senx si può confondere con
x. Puoi vedere un calcolo
numerico eseguito con foglio elettronico.
Per
concludere con questi esempi introduttivi consideriamo la
funzione f(x)=1/x. Poiché f(1)=1 ed
f(-1)=-1, si conclude che le orbite di 1 e di -1 sono
costituite solo dai punti 1 e -1 rispettivamente. Se prendiamo
un altro punto k (non nullo) si ha , mentre f(f(k)=k. Se ne deduce che le orbite
dei punti diversi da 1 e -1 oscillano continuamente tra
1/k e k.