Esercizio 1 Risolvere l'equazione z2-3z+5=0.
Osserviamo intanto che si tratta di un'equazione di secondo grado, nell'incognita z, con coefficienti reali. Questo significa che l'equazione avrebbe senso anche nell'insieme dei reali (dove l'avremmo scritta usando la x al posto della z: x2-3x+5=0); come si può però subito constatare essa non ha soluzioni nell'insieme dei reali in quanto il suo discriminante è negativo. Applichiamo allora la formula risolutiva tenendo conto del fatto che ora possiamo calcolare sempre le radici quadrate.
Esercizio 2 Risolvere l'equazione z2+iz+2=0.
Questa equazione non è a coefficienti reali e quindi non avrebbe senso in R. Applicando la solita formula si trova:
Esercizio 3 Risolvere l'equazione z2+2iz+-i=0.
Applicando la solita formula si ottiene, intanto: . Si tratta ora di calcolare le radici quadrate di -1+i (abbiamo scritto "le radici quadrate" e non "la radice quadrata" perché, come vedremo, per quanto riguarda l'estrazione di radice i complessi hanno un comportamento sostanzialmente diverso ai reali). Si tratta di trovare quei numeri x+iy, se ci sono, tali che (x+iy)2=-1+i, ovvero x2-y2+1+(2xy-1)=0. Si deve dunque di risolvere il sistema di due equazioni in due incognite. Si trova facilmente:
Esercizio 4 Scrivere il numero z+1/z in forma algebrica (ovvero trovarne le sue parti reale ed immaginaria).
Posto z=x+iy si trova, successivamente:
Esercizio 5 Scrivere il numero Im(z+)+Re(i|z|) in forma algebrica.
Esercizio 6 Scrivere il numero Re(z-1)-iz in forma algebrica.
Esercizio 7 Risolvere l'equazione z4-2iz2-1=(1+i) 2.
Posto z2=t e semplificando, si ottiene: t2-2it-1-2i=0. Con la solita formula si trova: . La radice indicata si trova con il sistema ormai usuale e si ottiene: t1=1+2i, t2=-1. Si dovranno ora estrarre le radici di t1 e t2. Procedendo sempre al solito modo per t1 (per t2 non ci sono problemi!), si trova, finalmente:
Esercizio 8 Risolvere l'equazione |z|2+z-7-2i=0.
Si tratta di un'equazione non algebrica (il che implica in particolare che ad essa non si può attribuire alcun grado!). Osserviamo inoltre che, essendo |z|2 ≠ z2, non si può porre |z|=t come si potrebbe fare in R. Poniamo allora z=x+iy e otteniamo, dopo opportune semplificazioni, x2+y2+x-7+i( y-2)=0. Dovremo dunque risolvere un sistema di due equazioni in due incognite: . Si trovano subito le due soluzioni dell'equazione proposta:
Si tenga ben presente che il fatto che l'equazione proposta abbia due soluzioni non è in alcun modo legato al fatto che nel testo compaia un esponente "2": equazioni di questo tipo possono avere anche infinite soluzioni.
Per chiarire la differenza tra questa equazione e una simile in R, consideriamo due esempi in R: