Prime proprietà dei complessi: esercizi
Esercizio 1 Risolvere l'equazione z2-3z+5=0.
Osserviamo intanto che si tratta di un'equazione di secondo grado, nell'incognita z, con coefficienti reali. Questo significa che l'equazione avrebbe senso anche nell'insieme dei reali (dove l'avremmo scritta usando la x al posto della z: x2-3x+5=0); come si può però subito constatare essa non ha soluzioni nell'insieme dei reali in quanto il suo discriminante è negativo. Applichiamo allora la formula risolutiva tenendo conto del fatto che ora possiamo calcolare sempre le radici quadrate.
Esercizio 2 Risolvere l'equazione z2+iz+2=0.
Questa equazione non è a coefficienti reali e quindi non avrebbe senso in R. Applicando la solita formula si trova:
Esercizio 3 Risolvere l'equazione z2+2iz+-i=0.
Applicando la solita formula si ottiene, intanto: 
. Si tratta ora di
calcolare le radici quadrate di -1+i (abbiamo scritto "le
radici quadrate" e non "la radice quadrata"
perché, come vedremo, per
quanto riguarda l'estrazione di radice i complessi hanno un
comportamento sostanzialmente diverso ai reali). Si tratta di
trovare quei numeri x+iy, se ci sono, tali che
(x+iy)2=-1+i, ovvero
x2-y2+1+(2xy-1)=0.
Si deve dunque di risolvere il sistema 
di due equazioni in due
incognite. Si trova facilmente:
Esercizio 4 Scrivere il numero z+1/z in forma algebrica (ovvero trovarne le sue parti reale ed immaginaria).
Posto z=x+iy si trova, successivamente:
Esercizio 5 Scrivere il numero
Im(z+
)+Re(i|z|) in forma algebrica.
Esercizio 6 Scrivere il numero Re(z-1)-iz in forma algebrica.
Esercizio 7 Risolvere l'equazione z4-2iz2-1=(1+i) 2.
Posto z2=t e semplificando, si
ottiene: t2-2it-1-2i=0.
Con la solita formula si trova: 
. La radice indicata si trova con il sistema
ormai usuale e si ottiene: t1=1+2i,
t2=-1. Si dovranno ora estrarre le radici di
t1 e t2. Procedendo
sempre al solito modo per t1 (per
t2 non ci sono problemi!), si trova,
finalmente:
Esercizio 8 Risolvere l'equazione |z|2+z-7-2i=0.
Si tratta di un'equazione non algebrica (il che
implica in particolare che ad essa non si può
attribuire alcun grado!). Osserviamo inoltre che, essendo
|z|2 ≠ z2, non si
può porre |z|=t come si potrebbe fare
in R. Poniamo allora z=x+iy e
otteniamo, dopo opportune semplificazioni,
x2+y2+x-7+i(
y-2)=0. Dovremo dunque risolvere un sistema di due
equazioni in due incognite: 
. Si trovano subito le due soluzioni
dell'equazione proposta:
Si tenga ben presente che il fatto che l'equazione proposta abbia due soluzioni non è in alcun modo legato al fatto che nel testo compaia un esponente "2": equazioni di questo tipo possono avere anche infinite soluzioni.
Per chiarire la differenza tra questa equazione e una simile in R, consideriamo due esempi in R:
- l'equazione |x|2-3x+2=0: essa è assolutamente identica all'equazione x2-3x+2=0, che è di secondo grado e si risolve nel solito modo, trovando x=1 e x=2;
- l'equazione x2-3|x|+2=0: essa si risolve ponendo |x|=t, da cui t2-3t+2=0, t=1 e t=2 e, infine x=±1 e x=±2. Si notino le quattro soluzioni.