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Radici nei complessi

Radici n-esime

La formula di De Moivre [ρ,θ]n = [ρn,] permette di dimostrare facilmente il seguente

Teorema: Per ogni numero complesso α = a+ib = [ρ,θ] esistono esattamente n  radici n-esime distinte, ovvero n numeri complessi diversi, che indichiamo con  z0, z1, ..., zn-1 tali che (zk)n = α. Questi numeri sono dati dalla formula:

img

Per la dimostrazione si osservi che, posto z = [r,φ], si deve avere [rn,nφ] = [ρ,θ], ovvero img. Esistono solo n valori distinti di k che producono angoli distinti (per la consueta periodicità): si possono scegliere i valori da 0 ad n-1, come abbiamo fatto sopra e come si fa d'abitudine.

Osservazioni

Come è noto, nell'insieme dei numeri reali si verifica che:

In sostanza il simbolo img indica un unico numero reale e precisamente l'unica radice di a se n è dispari (radice che può essere sia positiva che negativa), mentre indica solo la radice positiva di a se n è pari. La scrittura nei reali è facilitata dal fatto che, al massimo, per un numero reale esistono due radici.

Tutto si complica nei complessi, dove le radici n-esime sono n. Inoltre non essendo possibile definire il concetto di positivo e negativo non è facile stabilire un criterio per privilegiare (almeno nella scrittura) una delle radici sulle altre (nei reali abbiamo privilegiato la positiva sulla negativa e che è interessato può vedere una discussione su questo problema).

Per questo, dato il numero complesso α si è scelto di indicare con il simbolo img l'insieme di tutte le radici n-esime di α. In sostanza si pone:

img

Questa notazione può ingenerare confusione perché usa un simbolo, che comunemente è adottato per rappresentare un unico numero, per rappresentare invece un insieme di n numeri. Alcuni autori hanno introdotto qualche modifica per evitare questi problemi, per esempio scrivendo img, ma questo tipo di simboli non ha avuto fortuna. Non resta che prestare attenzione: di solito tutto è chiarito dal contesto.

In questo spirito la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado si può scrivere in maniera più compatta, evitando il doppio segno davanti alla radice, in quanto il simbolo di radice quadrata indica già (solo nei complessi!) due numeri diversi.

img

Non è comunque il caso di sottilizzare troppo: in ogni caso anche le radici complesse sono una l'opposta dell'altra (anche se non sono una positiva e una negativa!).

Si noti anche che le usuali proprietà dei radicali in R vanno opportunamente modificate, di solito interpretandole nel senso della teoria degli insiemi. In particolare:

Radici dell'unità

Il caso α = 1 è particolarmente interessante e merita un'analisi particolare.

Ora tutte le radici n-esime (qualunque sia n) hanno modulo 1 e quindi nel piano di Gauss si situano sulla circonferenza di centro l'origine e raggio 1. Inoltre, poiché 1n vale ovviamente 1, il numero 1 stesso appartiene all'insieme delle radici n-esime, per ogni n. Se si osserva che gli argomenti delle radici sono, nell'ordine, 0, 2π/n, 3π/n, ..., (n-1)π/n, si conclude subito che esse si situano sui vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto nella circonferenza e con un vertice nel punto (1,0). Questa osservazione riconduce il problema del calcolo esplicito delle radici in forma algebrica a quello generale della ciclotomia.

radici dell'unità

Se consideriamo poi un complesso α qualunque, potremo scrivere img. Ci sono n radici n-esime sia di 1 che di α. Si deduce allora che per trovare le radici di α basterà trovarne una e poi moltiplicarla per le n radici n-esime di 1: se costruiamo una tabella contenente le radici n-esime di 1, ci sarà molto più facile trovare le radici degli altri numeri complessi.

Il caso delle radici quadrate

Si tratta di un caso particolarmente importante nelle applicazioni, in quanto legato al problema della risoluzione di equazioni di secondo grado.

Nelle applicazioni, infatti, ha spesso interesse, oltre alla forma trigonometrica di un complesso, anche la forma algebrica.  Osserviamo esplicitamente che la formula precedentemente trovata per il calcolo delle radici n-esime, permette un agevole calcolo dell'argomento di qualunque radice n-esima solo se si conosce l'argomento del numero di cui si vuole estrarre la radice. In generale il numero di cui trovare le radici viene dato nella sua forma algebrica, e quindi è possibile ricavare esplicitamente il seno ed il coseno dell'argomento, mentre l'argomento stesso deve venire espresso utilizzando le funzioni inverse arcsin e arccos, tranne alcuni casi favorevoli.

Inoltre, una volta trovati gli argomenti delle radici n-esime, il passaggio alla forma algebrica richiede il calcolo del seno e coseno di questi argomenti, cosa esplicitamente possibile solo in casi favorevoli.

Consideriamo qualche esempio per chiarire il concetto:

Nel caso delle radici quadrate (e in realtà anche delle radici n-esime dove n è una potenza di 2), i calcoli si possono invece sempre eseguire, utilizzando eventualmente le formule di bisezione. Anche in questo caso proponiamo un esempio per chiarire il concetto.

img.

Anche se non si riesce ad esprimere l'argomento θ in termini di angoli notevoli, si possono comunque eseguire i calcoli indicati con le citate formule di bisezione, osservando che img e quindi img. Si trova facilmente:

img.

Naturalmente il calcolo delle radici quadrate si poteva anche fare senza l'uso della forma trigonometrica, semplicemente osservando che si trattava di calcolare x ed y tali che (x+iy)2 = 3-4i e giungendo ad un sistema di due equazioni in due incognite.

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pagina pubblicata il 28/02/2005 - ultimo aggiornamento il 28/09/2007