Derivata della funzione esponenziale - dimostrazione
f(x) = ex 
f'(x) = ex
Si ha: 
. Per concludere abbiamo utilizzato il
fatto che: 
.
Se la funzione esponenziale viene introdotta come inversa della
funzione logaritmo naturale, per ottenere questo risultato si
può anche usare la regola di derivazione della funzione
inversa: 
.
Si noti come, nell'applicare questa formula sulla derivata della funzione inversa, sia molto utile utilizzare un nome esplicito per la funzione esponenziale: di solito si scrive ex (e qui il nome della funzione non è evidente); qui abbiamo scritto exp(x) (e qui il nome della funzione è evidente: funzione exp). In questo sito abbiamo proposto anche una trattazione completa del problema della nomenclatura relativa alle funzioni.
Nelle trattazioni classiche la funzione esponenziale viene introdotta prima della funzione logaritmo (di solito a partire dalla potenza con esponente reale, ma ci sono metodi molto più efficaci), ma non è l'unica possibilità. Se si segue, per esempio, la via indicata in T.M.Apostol, Calcolo, ed. Bollati Boringhieri, il logaritmo viene introdotto indipendentemente dal concetto di potenza, usando gli integrali, per cui è la funzione esponenziale ad essere definita come inversa della funzione logaritmo.