Funzioni e terminologia
Se è data una funzione 
, si dice spesso, per
brevità: si consideri la funzione y=f(x). Si
tratta di una locuzione impropria, in quanto y
(=f(x)) è solo l'immagine di x
tramite la funzione f.
É molto importante, in particolare, ricordare che
la scrittura y=f(x) non deve essere pensata come
un'equazione. Se per esempio dico: sia data la funzione
y=x+1 (oppure t=s+1, o ancora u=v+1,
ecc.), intendo considerare la funzione che ad ogni numero reale
fa corrispondere lo stesso numero aumentato di 1 (cioè la
funzione 
), e questa funzione è
completamente diversa dalla funzione x=y-1 (cioè
dalla funzione 
), che ad
ogni numero reale fa corrispondere lo stesso numero diminuito di
1 (le due funzioni in questione sono una l'inversa dell'altra). Se
utilizzo un sistema di coordinate in cui metto sull'asse
delle ascisse il dominio e su quello delle ordinate il
codominio, come si fa abitualmente, le due funzioni hanno
grafici diversi e simmetrici rispetto alla bisettrice del primo
e terzo quadrante. Se invece considero le tre equazioni
y=x+1, x=y-1, x-y+1=0, esse sono la
stessa equazione e, in un grafico cartesiano, hanno la stessa
rappresentazione.
Si noti che, per assegnare una funzione, occorre sempre precisare qual'è il dominio, qual'è il codominio e qual'è la legge che associa ciascun punto del dominio a un unico punto del codominio. Nel caso di funzioni reali di variabile reale, in cui la legge è una successione di "regole di calcolo matematiche", abitualmente si assegna solo il complesso di regole di calcolo e si sottintende che il dominio è il massimo sottoinsieme di R in cui tali regole sono applicabili. Questo dominio si usa chiamare dominio naturale della funzione. Si conviene inoltre che, se non diversamente specificato, il codominio sia tutto l'insieme dei reali.
La legge che opera sui punti del dominio può essere di
qualsiasi tipo, e quindi per scriverla esplicitamente non
esistono regole generali. Per esempio se considero la funzione
che ad ogni cliente di una banca fa corrispondere il saldo (in
un determinato giorno) del conto corrente, l’unico modo
per scriverla è di avere una tabella con due colonne:
clienti-saldi. Se però si considerano corrispondenze tra
numeri reali espresse da "regole di calcolo
matematiche", la funzione può essere scritta in
maniera compatta. Per esempio: dicendo y=x2
si intende considerare quella funzione che associa ad ogni reale
il suo quadrato, dicendo 
si intende
considerare quella funzione che ad ogni reale positivo fa
corrispondere la sua radice quadrata. Si tratta di scritture
universalmente adottate e che non pongono problemi di
interpretazione. É però da sottolineare un fatto:
nella scrittura è immediato
distinguere tra il simbolo utilizzato per la variabile
indipendente (x), quello utilizzato per la variabile dipendente
(y) e quello utilizzato per la funzione (
);
nella scrittura y=x2 vale lo stesso discorso
per le variabili x ed y, mentre non è evidenziabile un
simbolo speciale per la funzione (la funzione in questo caso
è evidentemente "l’elevazione al
quadrato"). Per le funzioni potenza si potrebbe utilizzare
un simbolo particolare, come ad esempio 
, ma
nella prassi questo non si fa, per non appesantire troppo le
scritture. É comunque opportuno ricordare che nel
considerare una funzione si deve avere sempre ben presente
qual’è la legge che associa gli elementi del
dominio a quelli del codominio e si deve prestare attenzione a
non confondere la legge con i punti del dominio o con le loro
immagini.
In molte applicazioni (per esempio in fisica) capita spesso di dover considerare contemporaneamente diverse funzioni: per semplificare le notazioni si utilizza spessissimo la convenzione di indicare la funzione con lo stesso nome della variabile dipendente. Per esempio per considerare la legge oraria si scrive x=x(t), anziché x=f(t), per considerare il diagramma delle velocità si scrive v=v(t), e così via. Questo tipo di notazioni è di grande utilità in tutti i casi (semplifica la vita in quanto rende molto più evidente il significato delle cose con cui si lavora), ma può essere fonte, a volte, di confusione: nella scrittura x=x(t) la prima x rappresenta un numero reale (il valore dell'ascissa raggiunta dal punto nell'istante t), mentre la seconda x rappresenta una legge (magari molto complicata!), che ad ogni tempo t di un dato intervallo fa corrispondere un unico valore di x.