Derivata della funzione logaritmo naturale - dimostrazione
f(x) = ln|x| 
Cominciamo a considerare il caso x>0; allora |x|
= x e si ha: 
. Per concludere abbiamo
tenuto conto che 
.
Se poi x<0, si ha |x|=-x e si può
usare la regola di derivazione delle funzioni composte: 
.
Naturalmente, essendo la funzione logaritmo naturale
l'inversa della funzione esponenziale, si poteva, in
alternativa, usare la regola di derivazione della funzione
inversa ottenendo: 
. Si noti come,
nell'applicare questa formula sulla derivata della funzione
inversa, sia molto utile utilizzare un nome esplicito per la
funzione esponenziale: di solito si scrive
ex (e qui il nome della funzione
non è evidente); qui abbiamo scritto exp(x) (e
qui il nome della funzione è evidente:
funzione exp). In questo sito abbiamo proposto anche
una trattazione
completa di questo problema.