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La funzione valore assoluto

La disequazione con valori assoluti

Se in una disequazione la variabile compare sotto valore assoluto conviene, utilizzando la definizione di valore assoluto, distinguere i vari casi che si possono presentare e risolvere le diverse disequazioni ottenute: la presenza di valori assoluti non richiede quindi l'introduzione di alcuna nuova tecnica risolutiva per le disequazioni.

Chiariamo il metodo con alcuni esempi.

Esempio 1. Risolvere la disequazione x + |x2-1| < 0
Poiché img, si devono considerare due casi:

In conclusione, facendo l'unione dei risultati trovati nei due casi, si ottiene: img.

Il grafico qui sotto, dove è rappresentata la funzione
f(x) = x + |x2-1|, conferma il risultato trovato.

grafico

Esempio 2. Risolvere la disequazione: |x+1| + |2-x| + x - 6 > 0. Si deve esaminare il segno di ciascuno degli argomenti dei valori assoluti presenti nel testo. I risultati si possono riportare in un grafico del tipo +/-, anche se qui non si deve poi eseguire alcun prodotto.  Si trova:

scehma dei segni

Se ne deduce che si devono distinguere tre casi:

Facendo l'unione dei risultati si trova l'insieme di soluzioni S = x <-5  x > 7/3.

Anche in questo caso la rappresentazione grafica della funzione a primo membro,  img, conferma il risultato trovato.

grafico

Esempio 3. Risolvere la disequazione: img. Esaminando prima il segno dell'argomento del valore assoluto "più interno" si conclude che si devono distinguere due casi:

Facendo la riunione dei risultati trovati si conclude che l'insieme delle soluzioni è x0.

In questo caso il grafico della funzione a primo membro, img, non solo conferma il risultato trovato, ma mostra anche come sarebbe stato immediato trovarlo, senza alcun calcolo!

grafico

punto esclamativoConsigliamo di usare sempre una calcolatrice adatta per tracciare i grafici coinvolti nelle disequazioni. Anche se di solito da essi non si possono dedurre le soluzioni nella forma richiesta negli esercizi (principalmente per la difficoltà nel valutare graficamente le ascisse dei punti di intersezione tra i grafici o tra un grafico e l'asse delle ascisse), si può in ogni caso avere un buon controllo dei risultati trovati.

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Il segno di una funzione contenente valori assoluti

Per ottenere il segno di una funzione contenente valori assoluti si può procedere con la tecnica generale indicata. Occorre prestare molta attenzione al fatto che, una volta trovato il dominio e l'insieme dove f(x) > 0, non è sempre agevole concludere immediatamente: come per le funzioni irrazionali, anche per questo tipo di funzioni (a differenza di quello che succede con i polinomi) l'insieme dei punti dove f(x)=0 può essere molto complesso e non essere costituito da punti isolati. Anche in questo caso una rappresentazione grafica può essere di grande aiuto. Chiariamo il fatto con alcuni esempi.

Esempio 1. Trovare il segno di img. Il grafico a fianco mostra subito che la funzione:

La funzione passa dunque da valori positivi a negativi senza annullarsi. Il risultato si poteva trovare anche, facilmente, per via algebrica.

grafico

Esempio 2. Trovare il segno di img. Il grafico di seguito mostra che:

La funzione si annulla quindi in un intero intervallo, anziché in punti isolati come succede per i polinomi (che hanno al massimo tanti zeri reali quant'è il loro grado).

grafico

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pagina pubblicata il 02/09/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003