Nel risolvere le disequazioni intervengono le proprietà della relazione d'ordine introdotta nei reali. Questa relazione (indicata con ≤, che si legge minore od uguale) è di ordine totale, cioè gode delle seguenti proprietà:
Invece di scrivere x ≤ y si può anche scrivere, in maniera perfettamente equivalente, y ≥ x (y è maggiore od uguale ad x). Oltre a questa relazione si considera anche la relazione "<" definita da: x < y equivale a x ≤ y ed x ≠ y. In maniera analoga si definisce la relazione ">". Queste due relazioni non sono di ordine nel senso classico del termine (per esempio non sono riflessive).
É molto importante il fatto che questa relazione di ordine è compatibile con la struttura di corpo commutativo introdotta su R mediante le operazioni di addizione e moltiplicazione, o in altri termini, che R è un corpo commutativo ordinato. Ciò significa che valgono le seguenti due proprietà:
Queste due proprietà delle disuguaglianze sono alla base di tutte le manipolazioni algebriche che si eseguono per risolvere le disequazioni.
Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. La risoluzione delle disequazioni si basa principalmente sulla possibilità di ridurre una disequazione ad una, o più, disequazioni equivalenti, di cui siano noti i metodi risolutivi. Per fare questo si usano le due proprietà di compatibilità sopra elencate. Poiché però le disequazioni coinvolgono una (o due) incognite sono opportune alcune precisazioni.
Sia data la disequazione f(x) > g(x), e sia D il suo dominio. É possibile sommare ad ambo i membri della disequazione (per ottenere una disequazione equivalente) una stessa funzione h(x), che abbia ancora dominio D.
Sia data la disequazione f(x) > g(x), e sia D il suo dominio. É possibile moltiplicare ambo i membri della disequazione (per ottenere una disequazione equivalente) per una stessa funzione h(x) strettamente positiva purché abbia ancora dominio D.
Dalle proprietà di compatibilità discendono facilmente anche le seguenti, di frequente uso:
Due disequazioni dello stesso verso e con lo stesso dominio possono sempre essere sommate membro a membro.
Due disequazioni dello stesso verso e con lo stesso dominio non possono essere moltiplicate membro a membro, a meno che tutti i membri non siano strettamente positivi.
Ne segue che di norma non si possono elevare ambo i membri di una disequazione al quadrato (o ad una potenza pari), a meno che i due membri non siano positivi, mentre si possono sempre elevare ad una potenza dispari. Per esempio da -2<1 non segue 4<1 (elevando al quadrato), mentre segue -8<1 (elevando al cubo).