Funzioni elementari e continuità
Le funzioni elementari giocano un ruolo fondamentale in tutte le applicazioni e godono di una importantissima proprietà, in relazione alla continuità: esse sono continue in tutti i punti del loro dominio naturale.
La dimostrazione della continuità di queste funzioni richiede (quasi sempre!) poca fatica e in gran parte si basa su altri teoremi già dimostrati.
Una funzione costante è continua.
La cosa è quasi ovvia: se f(x)=k per ogni x, preso un intorno U di k, basterà prendere come intorno V di un x qualunque quello che più ci piace e saremo sicuri di non sbagliare.
La funzione f(x)=x (funzione identica) è continua.
Anche qui la cosa è quasi ovvia visto che l'immagine inversa di un intorno U sull'asse delle y è ancora lo stesso intorno U, solo rappresentato sull'asse delle x.
Le funzioni razionali sono continue.
Basta applicare le due proposizioni sopra riportate e ricordare l'algebra delle funzioni continue.
Le funzioni 
sono continue.
Basta tenere conto che si tratta di inverse di funzioni continue definite su intervalli (per n pari di opportune restrizioni delle funzioni potenza, per n dispari delle funzioni potenza definite su R).
Le funzioni trigonometriche sono continue.
Lo proviamo per la funzione seno: si tratta di verificare che
. Basta osservare (usando le formule di
prostaferesi) che 
.
Naturalmente questo implica, assieme ai teoremi sulla continuità dell'inversa, anche la continuità delle funzioni trigonometriche inverse.
La funzione esponenziale f(x) = ex è continua.
Si tratta di verificare che 
, ovvero di risolvere la disequazione 
. Si trova facilmente che essa è verificata per
, punti che costituiscono un intorno di
c (naturalmente abbiamo supposto, come è lecito,
).
Da qui si deduce anche la continuità della funzione logaritmo e delle funzioni potenza, anche con esponente reale qualunque.
Tenendo conto dei teoremi sull'algebra delle funzioni continue e sulla continuità della funzione composta si può allora concludere che le funzioni elementari sono continue in tutto il loro dominio.
Questo
fatto ha come conseguenza, fondamentale nelle applicazioni, che
il calcolo dei limiti coinvolgenti funzioni elementari è
banale se si tratta del limite su un punto del dominio: per
questo tipo di funzioni hanno interesse solo i limiti su punti
di accumulazioni del dominio, che non appartengano al dominio.
Osservazione
La dimostrazione della continuità della funzione esponenziale è basata sulla definizione "elementare" della stessa funzione e su proprietà che non vengono abitualmente provate a livello di scuola media superiore: una dimostrazione più soddisfacente dal punto di vista matematico richiede una definizione più sofisticata di funzione esponenziale, che esula dagli scopi di questa monografia. Un discorso sostanzialmente simile vale anche per le funzioni trigonometriche, la cui introduzione, a livello elementare, utilizza concetti (per esempio quello di "senso orario e antiorario") che non hanno un preciso significato in matematica.