L'integrazione delle funzioni razionali fratte occupa un capitolo a sé nel del calcolo delle primitive, innanzitutto per la sua grande importanza nelle applicazioni e poi perché dal punto di vista tecnico il problema può essere ricondotto a quello della ricerca degli zeri di un polinomio. In sostanza le primitive di una funzione razionale fratta possono essere determinate con una tecnica standard se si riesce a decomporre in fattori il polinomio al denominatore.
Cominciamo a calcolare le primitive di tre tipi fondamentali di funzioni razionali fratte, a cui tutti gli altri si possono ricondurre:
Ci servirà poi saper ricondurre a questi il calcolo seguente: . Si tratta di eseguire alcune manipolazioni algebriche e una sostituzione opportuna .
Consideriamo una generica funzione razionale fratta; si possono presentare due situazioni:
Nel primo caso si può eseguire la divisione tra numeratore e denominatore, ottenendo: (Q è il quoziente e R è il resto). La frazione "residua" è del tipo "2". La ricerca delle primitive di N/D si riconduce dunque alla ricerca di quelle di R/D, in quanto Q è un polinomio. Basta dunque considerare il secondo caso. Per esse vale il seguente
Questo teorema consente di ricondurre il calcolo delle primitive di una qualunque funzione razionale fratta a quella degli integrali fondamentali proposti sopra. Esso permette, tenendo conto degli integrali fondamentali considerati sopra, di concludere che
Le primitive di una funzione razionale fratta sono sempre costituite da una combinazione lineare finita di funzioni razionali (anche intere), e funzioni del tipo oppure .
Calcolare . Si ha . Se si riduce quest'ultima somma di frazioni allo stesso denominatore, si trova un numeratore di terzo grado, con coefficienti dipendenti da A, B, C, D. Questo numeratore deve essere uguale al numeratore del primo membro: per il principio di identità dei polinomi si troverà un sistema lineare di quattro equazioni in quattro incognite, che ci permetterà di trovare i quattro coefficienti incogniti A, B, C, D. Si ottiene: A=1, B=1, C=-1, D=0. I primi due addendi si integrano facilmente, per l'ultimo si opera come segue: . Si deve ulteriormente modificare il secondo addendo tra parentesi, come segue: .
Basterà ora porre , cioè , da cui . Riunendo tutti i risultati ottenuti si trova, infine, .
Calcolare . Si ha . Con il metodo sopra indicato si trova A=-1, B=-1, C=1. Si ha subito: .