Per renderci anche analiticamente conto del risultato relativo alla funzione arcsin(sin(x)), che abbiamo già visualizzato graficamente, basta osservare che, se x sta nel tratto , sinx è l'ordinata del corrispondente punto della circonferenza goniometrica, mentre arcsin(sin(x)) è il punto della stessa circonferenza goniometrica, avente quell'ordinata, ma appartenente al tratto : arcsin(sin(x)) sarà dunque, per motivi di simmetria, -x + π.
Qui sotto si può esaminare la situazione con x in .
Qui sotto si può esaminare la situazione con x in .
La figura qui sotto illustra dinamicamente questo fatto. A sinistra è rappresentata la circonferenza goniometrica, dove abbiamo riportato il valore di x e il corrispondente valore di arcsin(sin(x)): i colori rendono evidente quando i due numeri coincidono e quando invece sono diversi. Sulla destra viene costruito il grafico della funzione per un utile confronto.