La funzione cos(arccos(x))

Se le funzioni coseno e arccoseno fossero una l'inversa dell'altra non ci sarebbe molto da dire relativamente alla funzione composta cos(arccos(x)): basterebbe solo osservare che, in accordo con la regola generale sulle funzioni inverse si otterrebbe l'identità sul dominio di arccoseno, cioè sull'intervallo [-1,1]. Poiché però l'arccoseno è l'inversa di una restrizione della funzione coseno, una precisazione si rende opportuna.

Dato un reale x dell'intervallo [-1,1], la funzione arccoseno produce un reale dell'intervallo [0,π], e questo è esattamente l'intervallo a cui abbiamo ristretto la funzione coseno per poterla invertire. Se ne deduce che la funzione in oggetto è proprio l'identità sull'intervallo [-1,1].

L'animazione qui sotto, ottenuta con la regola per tracciare graficamente la composta di due funzioni, visualizza dinamicamente quanto discusso qui sopra: mentre il punto P varia in [-1,1], il punto R, che descrive il grafico della funzione composta cos(arccos(x)), traccia il corrispondente tratto della bisettrice y=x.