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La funzione arcsin(sin(x)) - prima parte

La funzione seno è definita su tutto R e fornisce valori nell'intervallo [-1,1]; ciò significa che la funzione arcsinsin(x) è definita per ogni x reale, ma non può essere l'identità su R, perché arcseno ha l'intervallo img come codominio. Se ne deduce che il fatto che le due funzioni arcseno e seno non sono una l'inversa dell'altra ha, in questa composizione, importanti conseguenze.

Per capire come vanno le cose osserviamo innanzitutto che la funzione seno è periodica di periodo 2π e quindi basterà limitare l'indagine ad un intervallo ampio 2π: sceglieremo, per motivi di convenienza, l'intervallo img.

La considerazione di quello che succede nel tratto img è banale: per le note proprietà delle funzioni inverse si otterrà semplicemente l'identità di img. La cosa è provata dinamicamente dall'animazione qui sotto: mentre il punto P descrive il tratto img, il punto R, che descrive la funzione composta arcsinosin, percorre il corrispondente tratto della bisettrice y=x.

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Esaminiamo ora quello che succede nel tratto img. Vediamo intanto la costruzione animata ottenuta con il solito metodo.

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Se vuoi controllare analiticamente il risultato visualizzato vai alla pagina successiva, altrimenti passa direttamente alla funzione cos(arccos(x)).

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pagina pubblicata il 28/01/2003 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003