Considerata la restrizione della funzione tangente all'intervallo del dominio, si ottiene una funzione biunivoca (la funzione tangente, su questo intervallo è suriettiva, quindi non occorre operare restrizioni sul codominio), che indichiamo ancora con tg, nonostante la possibile (o forse certa) confusione che ne nasce; la biunivocità garantisce la possibilità di considerare l'inversa, che si denota con arctg (arctan), o con atg (atan), o con invtg (invtan), o (soprattutto sulle calcolatrici elettroniche) con tg-1 (tan-1) (con le difficoltà note legate all'uso di questa simbologia):
; .
La costruzione del grafico della funzione arctan è immediata, se si ricorda che basta fare il simmetrico del grafico della funzione tan rispetto alla bisettrice y=x.Nell'animazione qui sotto il punto P si muove sul segmento dell'asse delle ascisse, il punto Q descrive la funzione tangente (ristretta a questo intervallo), il punto R (simmetrico di Q rispetto alla predetta bisettrice) descrive il grafico della funzione arctangente.
Si noti come le due funzioni siano entrambe tangenti alla bisettrice: questo è dovuto al fatto che gli angoli sono misurati in radianti.
Si noti altresì come le due funzioni abbiano in comune solamente l'origine degli assi: l'equazione tanx=arctanx ha come unica soluzione x=0.
Si noti come sia fondamentale precisare che il risultato della funzione arctangente sta nell'intervallo : di archi che abbiano una tangente data x ce ne sono sempre infiniti, se non si pone alcuna limitazione.
Dalle formule di addizione della tangente, , si ricavano le seguenti formule, di uso frequente: .
Se si preferisce ragionare sulla circonferenza goniometrica si può esaminare la figura qui sotto: dato un numero reale x qualunque, abbiamo individuato l'unico arco dell'intervallo che ha come tangente x: per questo basta riportare il numero x sulla retta di equazione x=1 e trovare l'intersezione (nel primo o quarto quadrante!) con la circonferenza goniometrica del segmento congiungente x con l'origine degli assi. Per ottenere dinamicamente il grafico della funzione relativa abbiamo introdotto un secondo sistema di coordinate (con le stesse unità del primo) e abbiamo riportato il valore di x sull'asse delle ascisse e il valore di arctanx sull'asse delle ordinate