La funzione sin(arcsin(x))

Se le funzioni seno e arcseno fossero una l'inversa dell'altra non ci sarebbe molto da dire relativamente alla funzione composta sin(arcsin(x)): basterebbe solo osservare che, in accordo con la regola generale sulle funzioni inverse si otterrebbe l'identità sul dominio di arcseno, cioè sull'intervallo [-1,1]. Poiché però l'arcseno è l'inversa di una restrizione della funzione seno, una precisazione si rende opportuna.

Dato un reale x dell'intervallo [-1,1], la funzione arcseno produce un reale dell'intervallo , e questo è esattamente l'intervallo a cui abbiamo ristretto la funzione seno per poterla invertire. Se ne deduce che la funzione in oggetto è proprio l'identità sull'intervallo [-1,1].

L'animazione qui sotto, ottenuta con la regola per tracciare graficamente la composta di due funzioni, visualizza dinamicamente questo fatto: mentre il punto P varia in [-1,1], il punto R, che descrive il grafico della funzione composta sin(arcsin(x)), traccia il corrispondente tratto della bisettrice y=x.

In sostanza, in questo caso, il fatto che le funzioni seno e arcseno non siano una l'inversa dell'altra non è molto importante ai fini della composizione sinoarcsin. Ben diverso è il caso della funzione composta in ordine inverso arcsinosin. É un po' la stessa cosa che succede quando si fa (che fornisce l'identità sui reali positivi) e (che fornisce invece la funzione valore assoluto).