Funzione composta
Consideriamo una funzione 
. Se immaginiamo che
le frecce spedite dagli arcieri posti in A non si arrestino sui
bersagli posti in B, ma possano proseguire "rimbalzando sui
bersagli", possiamo considerare una nuova funzione 
, che "fa proseguire" le frecce scoccate dagli
arcieri di A, fino a farle giungere ai bersagli
definitivi posti in C. Se ora vogliamo guardare al
percorso complessivo delle frecce, senza preoccuparci del fatto
che le frecce prima di giungere in C, hanno dovuto
subire una deviazione sui "bersagli intermedi" posti
in B, possiamo considerare una unica funzione,
diciamola 
, che collega direttamente, senza
intermediari, gli arcieri di A con i bersagli posti in
C. Questa funzione si dice la composta di f e
g e si scrive 
. Lo schema di questa
operazione può essere così rappresentato:
. Utilizzando le rappresentazioni grafiche che si basano
sui diagrammi di Venn, possiamo costruire lo schema
sottoriportato.
Si noti come nel dominio di f gli arcieri sono stati sostituiti da bersagli speciali su cui le frecce non possono penetrare e che quindi hanno solo la funzione di rinviare le frecce verso i bersagli contenuti nel codominio di f. Si noti altresì che, quando la funzione f agisce autonomamente, ciascun punto del suo dominio è costretto a sparare l'unica freccia di cui dispone, mentre ora i punti del dominio di f non hanno frecce a disposizione, ma sono solo deputati a rinviare le frecce che arrivano tramite la funzione g: questo fa si che alcuni punti del dominio di f rimangano "inattivi". É chiaro da questa considerazione che la funzione composta si potrà costruire anche se il dominio di f non coincide con il codominio di g, basta che il dominio di f contenga l'immagine di g, in quanto, come già più volte osservato, f ha solo la funzione di "far proseguire" le frecce che sono piovute sul suo dominio. Si osservi ancora che, quando la funzione f agisce autonomamente, i punti del suo dominio possono spedire una sola freccia, mentre ora possono essere costretti a rinviare diverse frecce che magari sono piovute su di loro da diversi punti del dominio di g.
Si considerino per esempio le funzioni
f(x)=x2 e g(x)=sinx. Entrambe
hanno dominio e codominio coincidente con l'insieme dei
reali. La funzione composta è la funzione 
,
avente ancora come dominio e codominio l'insieme dei reali.
I valori maggiori di 1 o minori di -1 non sono mai raggiunti
dalla funzione g e quindi la funzione f non
metterà mai in moto le sue potenzialità su di
essi, nonostante appartengano al suo dominio. Per contro i
numeri 
hanno, tramite la funzione g,
entrambi immagine 
e quindi, tramite la
funzione f, verranno "spediti" verso lo
stesso bersaglio: 
.
É molto importante il fatto che l'operazione di composizione tra funzioni non gode della proprietà commutativa, e questo per due motivi:
-
Se è definita la funzione ,
non è affatto detto che si possa definire la funzione
, perché occorre che il codominio
della prima funzione sia coincidente con il dominio della
seconda (o che ne sia un sottoinsieme).
-
Anche se la costruzione sia di
che di è possibile non è
affatto detto che le due funzioni siano uguali: basta
considerare l'esempio di 
che sono, ovviamente, diverse (basta per esempio osservare
che la prima è sempre positiva, essendo un quadrato,
mentre la seconda no).
Un caso molto importante di composizione si ha tra una funzione
e la sua inversa (quando quest'ultima esiste): in questo
caso se 
ed 
, allora 
, mentre 
, dove id indica
la funzione identità, rispettivamente in A e in
B.
In molti casi ha interesse considerare due funzioni e 
, con 
: in questo caso in
generale non si può costruire la funzione composta . Si può però considerare una restrizione di g a
quei punti del suo dominio che hanno immagine contenuta in
B'. Questo consente di costruire la composta tra
f e questa restrizione di g. Per evitare
complicazioni di linguaggio si parla ancora di funzione composta
tra f e g, anche se si dovrebbe parlare di
composta tra f ed una opportuna restrizione di
g.
Per esempio se consideriamo le funzioni 
, la
funzione 
non è la composta delle due, ma
la composta di f e della restrizione di g ai
reali che corrispondono ad angoli del primo o secondo quadrante.
Abitualmente però, come già detto, si parla di
composta tra la funzione radice e la funzione
seno.
La costruzione della composta di due funzioni reali di variabile reale si può fare anche con una semplice tecnica basata solo sui grafici delle due funzioni componenti.