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Restrizioni di una funzione

Per costruire una funzione occorre fissare due insiemi, il dominio e il codominio, e una legge che faccia corrispondere a ciascun elemento del dominio (gli arcieri) un unico elemento del codominio (un bersaglio) (è cioè escluso che qualche arciere possa trattenere l'unica freccia di cui dispone, mentre non è affatto richiesto che le frecce colpiscano bersagli diversi: se per esempio colpiscono tutte lo stesso bersaglio la funzione si dice costante). Una modifica di uno solo dei tre elementi indicati modifica la funzione.

L'insieme di tutti i bersagli che vengono colpiti almeno una volta si chiama insieme immagine.

Interessa qui segnalare che a partire da una funzione si possono ottenere altre funzioni proprio modificando, in particolare restringendo, il dominio, il codominio, o entrambi. Si ottengono sempre funzioni diverse.

E' però da osservare che se si restringe il codominio fino a farlo coincidere con l'immagine, la modifica non è drammatica, nel senso che ciascun arciere continuerà a lanciare la propria freccia che compirà il suo percorso senza alcuna modifica: l'unica variante è che i bersagli non colpiti vengono, per così dire, scartati. E' questa una restrizione che, in un certo senso, si può chiamare "naturale", e che rende le funzioni, quando serve, suriettive. In ogni caso è bene ricordare che, seppure si tratti di una modifica che non incide più di tanto sulla "sostanza" della funzione, è comunque una modifica e produce una funzione diversa.

Ben diverso è il caso delle restrizioni al dominio: qui anche l'eliminazione di un solo punto fa sì che l'arciere corrispondente non possa più sparare la propria freccia. Le restrizioni al dominio sono dunque modifiche radicali e si fanno per scopi ben precisi, molto spesso per ottenere funzioni iniettive. In ogni caso, lo ripetiamo a costo di annoiare, operando restrizioni, anche sul dominio, si ottengono funzioni diverse da quella data.

Occorre esplicitamente osservare che spesso si opera una restrizione sia sul dominio che sul codominio al fine di ottenere, a partire da una data funzione, una nuova funzione che sia biunivoca: di solito la restrizione sul codominio si fa in modo da non modificarlo in maniera sostanziale (e per fare questo basta restringere il codominio all'immagine). Anche con questa richiesta però le possibili restrizioni al dominio sono infinite. Si può pensare ai noti esempi della funzione f(x)=x2, e delle funzioni trigonometriche, per rendersi conto di quali sono i problemi. Si tenga presente che, in molti casi,  una scelta prevale sulle altre solo per motivi di carattere storico.

pagina pubblicata il 01/12/2000 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003