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L'algebra delle derivate

In questa pagina ci occupiamo del seguente problema: se due funzioni sono derivabili, che ne è della loro somma, prodotto o quoziente? Visto che la derivata è sostanzialmente un limite (finito per giunta!), e che i limiti si comportano in maniera carina nei confronti delle operazioni elementari, c'è da aspettarsi che altrettanto succeda per le derivate: in effetti è proprio così, come dice il seguente

Teorema: Se f e g sono due funzioni definite in un intervallo comune e derivabili in un punto c, allora:

  • f+g è derivabile in c e si ha (f+g)' = f' + g';  dim   
  • f·g è derivabile in c e si ha (f·g)' = f'·g + f·g'  (regola della catena o anche regola di Leibniz);  dim   
  • img è derivabile in c (ovviamente purché il denominatore non si annulli) e si ha: imgdim   

Si noti che questo teorema esprime solo una condizione sufficiente per la derivabilità di una somma, prodotto, quoziente. É facile portare esempi che comprovano la non necessità della condizione espressa.

Esempio 1. Le funzioni f(x) = |x| e g(x) = -|x| non sono derivabili nell'origine, ma la loro somma ovviamente si, visto che è la funzione identicamente nulla, ma forse questo esempio è troppo cretino.

Esempio 2. Si considerino le due funzioni img. Esse non sono nemmeno continue nell'origine, per cui non possono essere derivabili. La loro somma è la funzione costantemente uguale ad 1, e quindi è certamente derivabile.

Esempio 3. Si considerino le funzioni f(x) = x e g(x) = |x|. La prima è derivabile, mentre la seconda no (nell'origine). Il loro prodotto è invece derivabile anche nell'origine, come prova il calcolo seguente: img. Il grafico qui sotto rende evidente che la curva è costituita da due rami di parabola (y=x2 e y=-x2) che nell'origine si saldano senza spigoli. Un esempio ancora più semplice è dato dal prodotto della funzione modulo (non derivabile nell'origine) per se stessa, che coincide con la funzione f(x)=x2 (ovviamente sempre derivabile).

grafico di xabs(x)

La linearità dell'operatore derivata

Una immediata conseguenza del teorema è che se k è una costante (kf)' = kf'. Consideriamo allora l'insieme di tutte le funzioni definite su un comune intervallo e derivabili in uno stesso punto c. Allora l'operazione di derivazione gode delle due proprietà seguenti:

In sostanza l'operazione di derivazione si comporta in maniera decente rispetto alle operazioni di somma e prodotto per un numero. Si esprime questo fatto dicendo che l'operazione di derivazione gode della proprietà di linearità. Inoltre il fatto che la somma di due funzioni derivabili e il prodotto di una funzione derivabile per un numero sia ancora derivabile implica che l'insieme delle funzioni in oggetto è uno spazio vettoriale.

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pagina pubblicata il 01/10/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003