Il logo di batmath
www.batmath.it

Derivate successive nella ricerca degli estremi - dimostrazione

Se la funzione f definita in I=]a,b[ è derivabile n volte in I e si ha f'(c)=f''(c)=...=f(n-1)(c)=0, mentre f(n)(c)0, allora:
  • se n è pari la funzione ha in c un massimo o un minimo relativo a seconda che  f(n)(c)<0 oppure  f(n)(c)>0;
  • se  n è dispari la funzione è crescente o decrescente in c a seconda che f(n)(c)>0 oppure  f(n)(c)<0.

La dimostrazione si basa sull'uso della formula di Taylor, certamente applicabile nel nostro caso e che, tenendo conto dell'annullarsi delle derivate come nell'enunciato, si riduce a: img. Poiché img, per il teorema della permanenza del segno img ha lo stesso segno di img in un intorno di c. Tenendo conto che n è l'esponente di x-c si deduce che, in quest'intorno, 

pagina pubblicata il 01/10/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003