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Funzioni esponenziali e logaritmiche

Premessa

Anche per queste disequazioni, come per quelle irrazionali, non esistono regole generali per la risoluzione e anche disequazioni molto semplici sono generalmente risolubili solo con metodi numerici, come si può vedere dai seguenti esempi.

Esempio 1. Risolvere la disequazione x² - 2^x > 0. Il grafico qui sotto mostra che la disequazione è verificata per x<α 2<x<4. Mentre i valori x=2 e x=4 si possono trovare in via elementare (il primo è banale, il secondo è la famosa coppia di reali per cui x^y=y^x), il valore di α si può solo trovare con metodi numerici (lo stesso Cabri con cui è fatto il grafico trova x -0.77).

Esempio 2. Risolvere la disequazione x > ln|x|, ovvero, equivalentemente, x - ln|x| > 0. Il grafico relativo alla prima è quello qui sotto a sinistra, quello relativo alla seconda a destra. L'insieme delle soluzioni è α < x < 0  x > 0. Il valore di α si può trovare solo con metodi numerici e lo stesso Cabri  con cui è fatto il grafico fornisce x -0.56

Disequazioni elementari

Considerati un reale a positivo e diverso da uno e un reale b qualunque, si dicono elementari le disequazioni del tipo:

Esse sono di fondamentale importanza, perché le tecniche applicabili alle disequazioni esponenziali e logaritmiche si basano sulla risoluzione di questo tipo di disequazioni.

Per risolvere questo tipo di disequazioni è conveniente ricordare i grafici delle funzioni esponenziali e logaritmiche e le loro proprietà essenziali. Li riportiamo qui sotto per comodità.

In matematica si usa quasi sempre come base dei logaritmi e delle funzioni esponenziali il numero di Nepero "e", che è maggiore di 1, per cui i primi due grafici sono di gran lunga i più importanti e ad essi faremo usualmente riferimento. Per la definizione di logaritmo il secondo grafico non è altro che il simmetrico del primo rispetto alla bisettrice y=x (altrettanto dicasi del quarto rispetto al terzo). Per risolvere le disequazioni è molto importante saper leggere con disinvoltura questi grafici.

Nel primo grafico (funzione esponenziale di base a maggiore di 1), a partire da un punto b sull'asse delle ascisse e seguendo il percorso verde si trova il risultato c della potenza a^b. A partire invece da un punto d sull'asse delle ordinate e seguendo il percorso blu si trova sull'asse delle ascisse l'esponente e che si deve dare ad a per avere d.

Nel caso per esempio di a=2, a partire da b=3 si trova c=8, a partire da d=32 si trova e=5.
 

Il secondo grafico fa le stesse cose, ma con punti di partenza invertiti: a partire da un punto d sull'asse delle ascisse si trova sull'asse delle ordinate il suo logaritmo in base a. A partire invece da un punto b sull'asse delle ordinate e seguendo il percorso verde si trova sull'asse delle ascisse l'argomento del logaritmo di base a per avere b.

Nel caso per esempio di a=10, a partire da d=1000 si trova e=3, a partire da b=2 si trova c=100.

Tenendo conto di questi grafici e del loro significato la risoluzione delle disequazioni elementari è immediata, come si può vedere dai due esempi che seguono. 

Esempio 1. Risolvere la disequazione 3^x > 17. Tracciato il grafico della funzione  f(x)=3x, e fissato il valore 17 sull'asse delle ordinate, si tratta di trovare i valori di x che dati come esponente a 3 producono una potenza maggiore di 17. Il grafico qui sotto rende immediatamente evidente che la soluzione è: x > log₃17.
 

Esempio 2. Risolvere la disequazione log₅x ≤ 2. Tracciato il grafico della funzione f(x)=log₅x, e fissato il valore 2 sull'asse delle ordinate, si tratta di trovare i valori di x (argomento del logaritmo) che hanno un logaritmo non superiore a 2. Il grafico qui sotto rende immediatamente evidente che la soluzione è: 0 < x ≤ 5². 

La tecnica proposta in questi due esempi può essere applicata in tutti gli altri casi e, a nostro avviso, è da preferire ad altre tecniche analitiche, soprattutto per le disequazioni con il logaritmo dove è facile dimenticare le condizioni per l'esistenza. Si tratta solo di acquisire un po' di pratica nella lettura dei grafici, pratica che comunque è utile in moltissime altre circostanze.

Le altre disequazioni

Come già accennato all'inizio non esistono tecniche specifiche per risolvere queste disequazioni e solo in alcuni casi si riesce a ricondursi, usando le proprietà delle potenze e dei logaritmi, oppure opportune sostituzioni, alla risoluzione di una o più disequazioni elementari. Gli esempi che proporremo daranno utili indicazioni sui metodi da seguire.

Esempio 1. Risolvere la disequazione: 2^x+1 > 5 - 4^x-1. La disequazione si può trasformare come segue: , , . A questo punto, posto 2^x=t, si ottiene, dopo opportuna semplificazione, t² + 8t - 20 > 0. Questa disequazione è verificata per t<-10 t>2. Si deve dunque risolvere . La prima disequazione non ha alcuna soluzione, la seconda è verificata per x>1, che è anche la soluzione della disequazione data.

Nello stesso modo si possono risolvere tutte le disequazioni in cui compare solo a^x o log_ax, purché la sostituzione t=a^x o t=log_ax porti ad una disequazione che si sappia risolvere. In termini precisi si tratta di disequazioni del tipo f(a^x)>0 o
  f(log_ax)>0, dove f(t)>0 è una disequazione risolubile. É la stessa tecnica che si applica, per esempio, per le biquadratiche, dove si pone x²=t e ci si riconduce ad una equazione, o disequazione, di secondo grado. Altri esempi simili, che si può provare a risolvere, sono: .

Esempio 2. Risolvere la disequazione log₅(x-3) - log₅(5-x) > 0. Si trova, innanzitutto, il dominio:
  . Dopodiché si può scrivere:  . Si noti che abbiamo eliminato il denominatore 5-x perché sicuramente positivo in base al dominio. Tenendo conto del dominio si conclude che l'insieme di soluzioni è 4<x<5. Si noti che siamo passati alla forma solo dopo aver trovato il dominio: anche se in questo caso il dominio in quest'ultima forma è lo stesso di prima, in generale non è vero che
  log(x)-log(y)=log(x/y); basta pensare a log(-2)-log(-3) che non ha senso, e quindi non può essere uguale a
  log(-2/-3)=log(2/3) che invece ha senso.

Esempio 3. Risolvere la disequazione . Si possono considerare i passaggi seguenti: . Questa è una disequazione elementare, la cui soluzione è x>0 (si tenga conto che 3/5 è minore di 1!).

Esempio 4. Risolvere la disequazione . Si deve trovare innanzitutto il dominio: . Dopodiché si pone 2^x=t e si usano le proprietà dei logaritmi. Si ottiene facilmente: , che ha come soluzioni -3<t<0. Se ne deduce subito che la disequazione data non ha soluzioni (2^x non può essere negativo!).

Esempio 5. Risolvere la disequazione . Occorre innanzitutto trovare il dominio. Si può scrivere: . Dopodiché si trova il segno di ognuno dei tre fattori che compaiono a primo membro e si costruisce il solito grafico del tipo +/-. Riportiamo solo il grafico finale.

La disequazione è, dunque, verificata per -2 < x < -1 1 < x ≤ 3. 

copyright 2000 et seq. maddalena falanga & luciano battaia

pagina pubblicata il 02/09/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003